几何平均值的计算|举例说明

发布于2021年12月2日Pritha班达里．2022年11月16日修订。

的几何平均数是将所有值相乘并求出该数的根的平均值。对于包含n数字，你会发现n它们乘积的根。你可以用这个描述性统计总结你的数据。

几何平均数是算术平均数的一种替代方法，算术平均数通常被简单地称为“几何平均数”的意思是算术平均数是基于数值相加，而几何平均数是数值相乘。。

几何平均公式

几何平均值公式有两种写法，但它们在数学上是等价的。

${方程*}\ \开始sqrt [n] {x} \π=(\πx) ^ \压裂{1}{n} \{方程*}结束$

$\π$ …的乘积
$x$ =每一个值
$n$ =值的总数
$\压裂{1}{n}$ 的倒数 $n$

圆周率符号( $\π$ )类似于求和符号sigma (Σ)，但它告诉你通过将它们相乘来找到它后面的乘积。

在第一个公式中，几何平均值是n所有值的乘积的根。

在第二个公式中，几何平均值是所有值的倒数次方的乘积n．

这些公式是等价的因为指数定律:取n的根x和养育完全一样吗x1的次方/n．

计算几何平均值

计算几何平均值主要有两个步骤:

把所有的值相乘得到它们的乘积。
找到n乘积的根(n是值的数目)。

在计算之前集中趋势的度量，请注意:

几何平均值只能求正值。
如果数据集中任何值为零，则几何平均值为零。

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什么时候使用几何均值?

几何平均值最适合用于报告平均通货膨胀率、百分比变化和增长率。因为这些类型的数据是用分数表示的，所以几何平均值对它们来说更准确比算术平均数。

算术平均数适用于相互独立的值(如考试分数)，而几何平均数更适用于相互依赖的值、百分比、分数或范围广泛的数据。

我们将通过一些示例向您展示如何找到不同类型数据的几何平均值。

示例:百分比的几何平均值

你感兴趣的是过去五次美国大选的平均投票率。您已经收集了以下数据。

一年	2000	2004	2008	2012	2016
投票率(%)	50.3	55.7	57.1	54.9	60.1

步骤1:把所有的值相乘得到它们的乘积。

公式	计算
$\πx$	$\πx = 50.3 \ times55.7 \ times57.1 \ times54.9 \ times55.5 = 487 \ 443 \ 873.24$

步骤2:找到n乘积的根(n是值的数目)。

公式	计算
$\ sqrt [n] {x} \π$	$n = 5$ $\πx = 487 \ 443 \ 873.24$ $\ sqrt [n] {x} \π= \ sqrt [5] {487 \ 443 \ 873.24} = 54.64$

美国过去五届大选的平均投票率为54.64%。

例子:变化很大的值的几何平均值

您比较了两台机器在不同尺度上评估的三个程序的效率。要找到每台机器的平均效率，您需要找到它们的程序评级分数的几何和算术平均值。

	程序1	程序2	程序3
机一个	7	80	2100
机器B	3.	94	2350

机器A的几何平均值

步骤1:把所有的值相乘得到它们的乘积。

公式	计算
$\πx$	$\ \ times80 \ times2 \πx = 7, 100 = 1 \ 176 \ 000$

步骤2:找到n乘积的根(n是值的数目)。

公式	计算
$\ sqrt [n] {x} \π$	$n = 3$ $\πx = 1 \ 176 \ 000$ $\ sqrt [n] {x} \π= \ sqrt [3] {1 \ 176 \ 000} = 105.55$

机器B的几何平均值

步骤1:把所有的值相乘得到它们的乘积。

公式	计算
$\πx$	$x = 3 \ times94 \ times2 \ \π,350 = 662 \ 700$

步骤2:找到n乘积的根(n是值的数目)。

公式	计算
$\ sqrt [n] {x} \π$	$n = 3$ $\πx = 662 \ 700$ $\ sqrt [n] {x} \π= \ sqrt [3] {662 \ 700} = 87.18$

比较平均数

现在你用算术和几何方法比较机器效率。

	算术平均值	几何平均数
机一个	729	105.55
机器B	815.67	87.18

虽然算术平均数显示机器B的效率更高，但几何平均数显示机器B的效率更高。

这里的几何平均值更准确，因为算术平均值倾向于高于您的大部分数据集的值。

几何平均和算术平均

几何平均数比算术平均数更准确地显示百分比变化随时间或复利。

例如，假设你研究果蝇种群增长率。你有兴趣了解环境因素是如何改变这些比率的。

你从两只果蝇开始，每12天测量一次种群增长的百分比。

每个百分比变化值也转换为以小数表示的增长因子。增长因子包括原始值(100%)，因此要将百分比增长转换为增长因子，将每个百分比增长加100，然后除以100。

一天	12	24	36
增加的百分比	340	187	427
生长因子	4.4	2.87	5.27

首先，将百分比变化转换为小数。你在每个值上加100来分解原来的量，然后每个值除以100。

算术平均值

为了求算术平均数，把所有的值加起来，然后除以这个数n．

公式	计算
$酒吧\ {x} = \ {x} \ div n$	$n = 3$ $总和\ {x} = 4.4 + 2.87 + 5.27 = 12.54$ $酒吧\ {x} = 12.54 \ div3 = 4.18$

几何平均数

步骤1:把所有的值相乘得到它们的乘积。

公式	计算
$\πx$	$\πx = 4.4 \ times2.87 \ times5.27 = 66.55$

步骤2:找到n乘积的根(n是值的数目)。

公式	计算
$\ sqrt [n] {x} \π$	$n = 3$ $\πx = 66.55$ $大概[n] {x} \π\ \ approx4.05$

人口增长因子的算术平均值为4.18，几何平均值为4.05。

我们怎么知道哪个均值是正确的呢?

因为它们是平均值，所以将原始苍蝇数量与平均百分比变化相乘3次，应该会为正确的平均值提供正确的最终种群值。

最终总体值:2 × 4.4 × 2.87 × 5.27≈133只果蝇
算术平均值为418%:最终种群= 2 × 4.18 × 4.18 × 4.18≈157只果蝇
几何平均值405%:最终种群= 2 × 4.05 × 4.05 × 4.05≈133只果蝇

只有几何平均值才能给出最终种群中果蝇的真实数量。这是生长因子最准确的平均值。

几何平均什么时候比算术平均好?

尽管几何平均不太常用，但对于正倾斜的数据和百分比，几何平均比算术平均更准确。

在一个积极倾斜分布，有一组较低的分数和一个展开的尾巴在右边。收入分配是数据集倾斜的一个常见例子。

虽然大多数值趋于低，但算术平均值经常被高值或高值拉向上(或向右)离群值在一个正倾斜的数据集中。

因为几何平均值往往低于算术平均值，所以它比算术平均值更好地代表较小的值。

几何平均值最适合于比测量级别，其中变量取一个真正的零，不要取任何负值。负百分比变化必须被积极地框定:例如，−8%变成原始值的92%。

关于集中趋势的常见问题

如何计算几何均值?: 有两个步骤来计算几何平均数：

把所有的值相乘得到它们的乘积。

找到n乘积的根(n是值的数目)。

在计算几何平均值之前，请注意:

几何平均值只能求正值。

如果数据集中的任何值为零，则几何平均值为零。
算术平均数和几何平均数的区别是什么?: 的算术平均值最常用的是哪种的意思是通常简称为“均值”。算术平均数是基于加和除的数值几何平均数相乘并找到值的根。

尽管几何平均值不太常见集中趋势的度量，它比百分比变化和正向倾斜数据的算术平均值更准确。金融指数和人口增长率通常报告几何平均值。
集中趋势的测量方法是什么?: 集中趋势的度量帮助您找到数据集的中间值或平均值。

集中趋势的3种最常见的测量方法是平均值、中位数和众数。

的模式是最常见的值。

的中位数是有序数据集中的中间数字。

的的意思是是所有值的和除以值的总数。

引用这篇Scribbr文章

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班达里，P.(2022, 11月16日)。几何平均值的计算|举例说明。Scribbr。检索于2022年12月14日，来自//www.charpingshvac.com/statistics/geometric-mean/

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Pritha班达里

普里塔拥有英语、心理学和认知神经科学方面的学术背景。作为一名跨学科研究人员，她喜欢为学生和学者撰写文章，解释棘手的研究概念。

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